Начальный уровень

Линейные уравнения. Полное руководство (2019)

Что такое «линейные уравнения»

или в устной форме - трем друзьям дали по яблок из расчета, что всего в наличии у Васи яблок.

И вот ты уже решил линейное уравнение
Теперь дадим этому термину математическое определение.

Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна . Оно выглядит следующим образом:

Где и - любые числа и

Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:

- «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»

«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. Например:

Мы видим, что справа стоит, что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное. Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет, но не надо торопиться с выводами ! Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример. При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.

Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными . Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач. Рассмотрим оба преобразования на конкретных примерах.

Перенос влево - вправо.

Допустим, нам необходимо решить такое уравнение:

Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами - влево, без иксов - вправо». Какое выражение с иксом стоит справа? Правильно, а не как не. И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ. А какое выражение с иксом стоит слева? Правильно, .

Теперь, когда мы с этим разобрались, переносим все слагаемые с неизвестными в левую сторону, а все, что известно - в правую, помня, что если перед числом нет никакого знака, например, то значит число положительно, то есть перед ним стоит знак « ».

Перенес? Что у тебя получилось?

Все, что осталось сделать - привести подобные слагаемые. Приводим:

Итак, первое тождественное преобразование мы успешно разобрали, хотя уверена, что ты и без меня его знал и активно использовал. Главное - не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!

Умножение-деление.

Начнем сразу же с примера

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные - в другой, но что-то нам мешает… И это что-то - четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально - икс равен числу - именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на! Все - это означает и левую, и правую часть. Так и только так! Что у нас получается?

Вот и ответ.

Посмотрим теперь другой пример:

Догадываешься, что нужно сделать в этом случае? Правильно, умножить левую и правую части на! Какой ты получил ответ? Правильно. .

Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал. Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего - Например, для решения нашего большого примера:

Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования. Так что начнем!

Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности. Если ты не помнишь, что это такое и как раскрываются скобки, настоятельно рекомендую почитать тему , так как эти навыки пригодятся тебе при решении практически всех примеров, встречающихся на экзамене.
Раскрыл? Сравниваем:

Теперь пришло время привести подобные слагаемые. Помнишь, как нам в тех же начальных классах говорили «не складываем мухи с котлетами»? Вот напоминаю об этом. Складываем все отдельно - множители, у которых есть, множители, у которых есть и остальные множители, в которых нет неизвестных. Как приведешь подобные слагаемые, перенеси все неизвестные влево, а все, что известно вправо. Что у тебя получилось?

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и мы видим совершенно обычное линейное уравнение . Осталось только найти!

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования - тождественные преобразования применимы не только для линейных уравнений, но и для квадратных, дробных рациональных и других. Просто нужно запомнить, что при переносе множителей через знак равенства мы меняем знак на противоположный, а при делении или умножении на какое-то число, мы умножаем/делим обе части уравнения на ОДНО и то же число.

Что еще ты вынес из этого примера? Что глядя на уравнение не всегда можно прямо и точно определить, является ли оно линейным или нет. Необходимо сначала полностью упростить выражение, и лишь потом судить, каким оно является.

Линейные уравнения. Примеры.

Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки - определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:

Ответы:

1. Является.

2. Не является.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Произведем тождественное преобразование - разделим левую и правую часть на:

Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.

3. Является.

Произведем тождественное преобразование - умножим левую и правую часть на, чтобы избавиться от знаменателя.

Подумай, почему так важно, чтобы? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет - обязательно загляни в тему , чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах. Кстати, как ты видишь, ситуация, когда невозможна. Почему?
Итак, продолжаем и преобразовываем уравнение:

Если ты без труда со всем справился, поговорим о линейных уравнениях с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными

Теперь перейдем к чуть более сложному - линейным уравнениям с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:

Где, и - любые числа и.

Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое - здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.

Какой бы привести тебе жизненный пример... Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а яблока оставит себе. Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по яблоку? А по? А если по?

Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:

• - количество яблок, которое получит человек (, или, или);
• - количество яблок, которое Вася возьмет себе;
• - сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.

Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст яблоко, то ему необходимо покупать штук, если даст яблока - и т.д.

И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике? Строим и отмечаем значение наших, то есть точки, с координатами, и!

Как ты видишь, и зависят друг от друга линейно , отсюда и название уравнений - «линейные ».

Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика - прямой и параболы, заданными произвольными функциями:

Найди и отметь на обоих рисунках точки, соответствующие.
Что у тебя получилось?

Ты видишь, что на графике первой функции одному соответствует один , то есть и линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию. Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике так же соответствует икс - , но это только одна точка, то есть частный случай, так как ты все равно можешь найти такой, которому соответствует не только один. Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.

Повторюсь, еще раз: графиком линейного уравнения должна быть ПРЯМАЯ линия .

С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет в какой-либо степени - это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например или. Но я тебя уверяю - ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.

Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:

А что будет, если мы разделим что-то на, например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость и? Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции.

Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
Подведем итоги:

1. Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.
2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
   , где и - любые числа;
   Линейное уравнение с двумя переменными:
   , где, и - любые числа.
3. Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет. Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Линейное уравнение

Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.

2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:

Где и - любые числа;

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

Где, и - любые числа.

4. Тождественные преобразования

Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:

• перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак;
• умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

Линейные уравнения – довольно безобидная и понятная тема школьной математики. Но, как это ни странно, количество ошибок на ровном месте при решении линейных уравнений лишь немногим меньше, чем в других темах – квадратных уравнениях, логарифмах, тригонометрии и прочих. Причины большинства ошибок – банальные тождественные преобразования уравнений. В первую очередь, это путаница в знаках при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, а также ошибки при работе с дробями и дробными коэффициентами. Да-да! Дроби в линейных уравнениях тоже встречаются! Сплошь и рядом. Чуть ниже такие злые уравнения мы с вами тоже обязательно разберём.)

Ну что, не будем тянуть кота за хвост и начнём разбираться, пожалуй? Тогда читаем и вникаем.)

Что такое линейное уравнение? Примеры.

Обычно линейное уравнение имеет следующий вид:

ax + b = 0,

Где a и b – любые числа. Какие угодно: целые, дробные, отрицательные, иррациональные – всякие могут быть!

Например:

7х + 1 = 0 (здесь a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (здесь a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (здесь a = 1/2, b = -1,1)

В общем, вы поняли, я надеюсь.) Всё просто, как в сказке. До поры до времени… А если присмотреться к общей записи ax+b=0 более пристально, да немного призадуматься? Ведь a и b – любые числа ! А если у нас, скажем, a = 0 и b = 0 (любые же числа можно брать!), то что у нас тогда получится?

0 = 0

Но и это ещё не все приколы! А если, допустим, a = 0, b = -10? Тогда уже совсем какая-то ахинея получается:

0 = 10.

Что весьма и весьма напрягает и подрывает завоёвываемое потом и кровью доверие к математике… Особенно на контрольных и экзаменах. А ведь из этих непонятных и странных равенств ещё и икс найти нужно! Которого нету вообще! И вот тут даже хорошо подготовленные ученики, порой, могут впасть, что называется, в ступор… Но не переживайте! В данном уроке все такие сюрпризы мы тоже рассмотрим. И икс из таких равенств тоже обязательно отыщем.) Причём этот самый икс ищется очень и очень просто. Да-да! Удивительно, но факт.)

Ну хорошо, это понятно. Но как же можно узнать по внешнему виду задания, что перед нами именно линейное уравнение, а не какое-либо ещё? К сожалению, только по внешнему виду распознать тип уравнения возможно далеко не всегда. Дело всё в том, что линейными называются не только уравнения вида ax+b=0, но и любые другие уравнения, которые тождественными преобразованиями, так или иначе, сводятся к такому виду. А как тут узнаешь, сводится оно или нет? Пока пример почти не решишь – почти никак. Это огорчает. Но для некоторых типов уравнений можно при одном беглом взгляде сразу с уверенностью сказать, линейное оно или нет.

Для этого ещё разок обратимся к общей структуре любого линейного уравнения:

ax + b = 0

Обратите внимание: в линейном уравнении всегда присутствует только переменная икс в первой степени и какие-то числа! И всё! Больше ничего. При этом нету иксов в квадрате, в кубе, под корнем, под логарифмом и прочей экзотики. И (что особенно важно!) нет дробей с иксом в знаменателях! А вот дроби с числами в знаменателях или деление на число – запросто!

Например:

Это линейное уравнение. В уравнении присутствуют только иксы в первой степени да числа. И нету иксов в более высоких степенях – в квадрате, в кубе и так далее. Да, здесь есть дроби, но при этом в знаменателях дробей сидят только числа. А именно - двойка и тройка. Иными словами, в уравнении нету деления на икс .

А вот уравнение

Уже нельзя назвать линейным, хотя здесь тоже присутствуют только числа и иксы в первой степени. Ибо, помимо всего прочего, здесь есть ещё и дроби с иксами в знаменателях . И после упрощений и преобразований такое уравнение может стать каким угодно: и линейным, и квадратным – всяким.

Как решать линейные уравнения? Примеры.

Так как же решать линейные уравнения? Читайте дальше и удивляйтесь.) Всё решение линейных уравнений базируется всего на двух основных вещах. Перечислим их.

1) Набор элементарных действий и правил математики.

Это использование скобок, раскрытие скобок, работа с дробями, работа с отрицательными числами, таблица умножения и так далее. Эти знания и умения необходимы не только для решения линейных уравнений, а для всей математики вообще. И, если с этим проблемы, вспоминайте младшие классы. Иначе несладко вам придётся…

2)

Их всего два. Да-да! Более того, эти самые базовые тождественные преобразования лежат в основе решения не только линейных, а вообще любых уравнений математики! Одним словом, решение любого другого уравнения – квадратного, логарифмического, тригонометрического, иррационального и т.д. – как правило, начинается с этих самых базовых преобразований. А вот решение именно линейных уравнений, собственно, на них же (преобразованиях) и заканчивается. Готовым ответом.) Так что не поленитесь и прогуляетесь по ссылке.) Тем более, что там линейные уравнения тоже детально разбираются.

Что ж, я думаю, пора приступать к разбору примеров.

Для начала, в качестве разминки, рассмотрим какую-нибудь элементарщину. Безо всяких дробей и прочих наворотов. Например, такое уравнение:

х – 2 = 4 – 5х

Это классическое линейное уравнение. Все иксы максимум в первой степени и деления на икс нигде нету. Схема решения в таких уравнениях всегда едина и проста до ужаса: все члены с иксами надо собрать слева, а все члены без иксов (т.е. числа) собрать справа. Вот и приступаем к сбору.

Для этого запускаем в ход первое тождественное преобразование. Нам нужно перенести -5х влево, а -2 перенести вправо. Со сменой знака, ясное дело.) Вот и переносим:

х + 5х = 4 + 2

Ну вот. Полдела сделано: иксы собрали в кучку, числа – тоже. Теперь слева приводим подобные, а справа – считаем. Получаем:

6х = 6

Чего теперь нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс остался! А шестёрка – мешает. Как от неё избавиться? Запускаем теперь второе тождественное преобразование – делим обе части уравнения на 6. И – вуаля! Ответ готов.)

х = 1

Разумеется, пример совсем примитивный. Чтобы общую идею уловить. Что ж, решим что-нибудь посущественнее. Например, разберём вот такое уравнение:

Детально разберём.) Это тоже линейное уравнение, хотя, казалось бы, тут есть дроби. Но в дробях есть деление на двойку и есть деление на тройку, а вот деления на выражение с иксом – нету! Так что – решаем. Используя всё те же тождественные преобразования, да.)

Что вначале делать будем? С иксами - влево, без иксов – вправо? В принципе, можно и так. Лететь в Сочи через Владивосток.) А можно пойти по кратчайшему пути, сразу воспользовавшись универсальным и мощным способом. Если знать тождественные преобразования, разумеется.)

Для начала задаю ключевой вопрос: что вам сильнее всего бросается в глаза и больше всего не нравится в этом уравнении? 99 человек из 100 скажут: дроби! И будут правы.) Вот и избавимся сначала от них. Безопасно для самого уравнения.) Поэтому начнём сразу со второго тождественного преобразования – с домножения. На что надо помножить левую часть, чтобы знаменатель благополучно сократился? Правильно, на двойку. А правую часть? На тройку! Но… Математика – дама капризная. Она, понимаешь, требует умножать обе части только на одно и то же число! Каждую часть помножать на своё число – не катит… Что делать будем? Что-что… Искать компромисс. Чтобы и наши хотелки удовлетворить (избавиться от дробей) и математику не обидеть.) А помножим-ка обе части на шестёрку!) То есть, на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Тогда одним махом и двойка сократится, и тройка!)

Вот и домножаем. Всю левую часть и всю правую часть целиком! Посему используем скобочки. Вот так выглядит сама процедура:

Теперь раскрываем эти самые скобочки:

Теперь, представив 6 как 6/1, помножим шестёрку на каждую из дробей слева и справа. Это обычное умножение дробей, но, так уж и быть, распишу детально:

А вот здесь – внимание! Числитель (х-3) я взял в скобки! Это всё потому, что при умножении дробей числитель умножается весь, целиком и полностью! И с выражением х-3 надо работать как с одной цельной конструкцией. А вот если вы запишете числитель вот так:

6х – 3 ,

Но у нас всё правильно и надо дорешивать. Что дальше делать? Раскрывать скобки в числителе слева? Ни в коем случае! Мы с вами домножали обе части на 6, чтобы от дробей избавиться, а не для того чтобы париться с раскрытием скобок. На данном этапе нам надо сократить наши дроби. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем все знаменатели и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку:

3(х-3) + 6х = 30 – 4х

А вот теперь и оставшиеся скобки можно раскрыть:

3х – 9 + 6х = 30 – 4х

Уравнение становится всё лучше и лучше! Вот теперь вновь вспоминаем про первое тождественное преобразование. С каменным лицом повторяем заклинание из младших классов: с иксами – влево, без иксов – вправо . И применяем это преобразование:

3х + 6х + 4х = 30 + 9

Приводим подобные слева и считаем справа:

13х = 39

Осталось поделить обе части на 13. То есть, вновь применить второе преобразование. Делим и получаем ответ:

х = 3

Готово дело. Как вы видите, в данном уравнении нам пришлось один раз применить первое преобразование (перенос слагаемых) и дважды – второе: в начале решения мы использовали домножение (на 6) с целью избавиться от дробей, а в конце решения использовали деление (на 13), чтобы избавиться от коэффициента перед иксом. И решение любого (да-да, любого!) линейного уравнения состоит из комбинации этих самых преобразований в той или иной последовательности. С чего именно начинать – от конкретного уравнения зависит. Где-то выгоднее начинать с переноса, а где-то (как в этом примере) – с домножения (или деления).

Работаем от простого – к сложному. Рассмотрим теперь откровенную жесть. С кучей дробей и скобок. А я уж подскажу, как не надорваться.)

Например, вот такое уравнение:

Минуту смотрим на уравнение, ужасаемся, но всё-таки берём себя в руки! Основная проблема – с чего начинать? Можно сложить дроби в правой части. Можно выполнить вычитание дробей в скобках. Можно обе части на что-нибудь домножить. Или поделить… Так что же всё-таки можно? Ответ: всё можно! Ни одно из перечисленных действий математика не запрещает. И какую бы последовательность действий и преобразований вы бы ни выбрали, ответ получится всегда один – правильный. Если, конечно, на каком-то шаге не нарушить тождественность ваших преобразований и, тем самым, не наляпать ошибок…

А, чтобы не наляпать ошибок, в таких навороченных примерах, как этот, всегда полезнее всего оценить его внешний вид и в уме прикинуть: что можно такое сделать в примере, чтобы максимально упростить его за один шаг?

Вот и прикидываем. Слева стоят шестёрки в знаменателях. Лично мне они не нравятся, а убрать их очень легко. Домножу-ка я обе части уравнения на 6! Тогда шестёрки слева благополучно сократятся, дроби в скобках пока никуда не денутся. Ну и ничего страшного. С ними чуток позже расправимся.) А вот справа у нас сократятся знаменатели 2 и 3. Именно при этом действии (умножении на 6) у нас за один шаг достигаются максимальные упрощения!

После умножения всё наше злое уравнение станет вот таким:

Кто не понял, как именно получилось это уравнение, значит, вы плохо усвоили разбор предыдущего примера. А я старался, между прочим…

Итак, раскрываем:

Теперь самым логичным шагом было бы уединить дроби слева, а 5х отправить в правую часть. Заодно и подобные в правой части приведём. Получим:

Уже гораздо лучше. Теперь левая часть сама собой подготовилась к умножению. На что надо домножить левую часть, чтобы сразу и пятёрка сократилась, и четвёрка? На 20! Но ещё у нас присутствуют минусы в обеих частях уравнения. Поэтому удобнее всего будет умножать обе части уравнения не на 20, а на -20. Тогда одним махом и минусы исчезнут, и дроби.

Вот и умножаем:

Кому до сих пор непонятен этот шаг – значит, проблемы не в уравнениях. Проблемы – в основах! Вновь вспоминаем золотое правило раскрытия скобок:

Если число умножается на какое-то выражение в скобках, то это число надо последовательно умножить на каждое слагаемое этого самого выражения. При этом если число положительно, то знаки выражений после раскрытия сохраняются. Если отрицательно – меняются на противоположные:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Минусы у нас исчезли после домножения обеих частей на -20. И теперь скобки с дробями слева мы умножаем на вполне себе положительное число 20. Стало быть, при раскрытии этих скобок все знаки, что были внутри них, сохраняются. А вот откуда взялись скобки в числителях дробей, я уже подробно объяснял в предыдущем примере.

А вот теперь дроби и сократить можно:

4(3-5х)-5(3х-2) = 20

Раскрываем оставшиеся скобки. Опять же, правильно раскрываем. Первые скобки умножаются на положительное число 4 и, стало быть, все знаки при их раскрытии сохраняются. А вот вторые скобки умножаются на отрицательное число -5 и, поэтому, все знаки меняются на противоположные:

12 - 20х - 15х + 10 = 20

Остались сущие пустяки. С иксами влево, без иксов – вправо:

-20х – 15х = 20 – 10 – 12

-35х = -2

Вот почти и всё. Слева нужен чистый икс, а число -35 мешает. Вот и делим обе части на (-35). Напоминаю, что второе тождественное преобразование разрешает нам умножать и делить обе части на какое угодно число. В том числе и на отрицательное.) Лишь бы не на ноль! Смело делим и получаем ответ:

X = 2/35

На сей раз икс получился дробным. Ничего страшного. Такой уж пример.)

Как мы видим, принцип решения линейных уравнений (даже самых накрученных) довольно простой: берём исходное уравнение и тождественными преобразованиями последовательно упрощаем его прямо до получения ответа. С соблюдением основ, разумеется! Главные проблемы здесь именно в несоблюдении основ (скажем, перед скобками стоит минус, а знаки при раскрытии поменять забыли), а также в банальной арифметике. Так что не пренебрегайте основами! Они – фундамент всей остальной математики!

Некоторые приколы при решении линейных уравнений. Или особые случаи.

Всё бы ничего. Однако… Попадаются среди линейных уравнений и такие забавные перлы, которые в процессе их решения могут и в сильный ступор вогнать. Даже отличника.)

Например, вот такое безобидное с виду уравнение:

7х + 3 = 4х + 5 + 3х - 2

Широко позёвывая и слегка скучая, собираем все иксы слева, а все числа справа:

7х-4х-3х = 5-2-3

Приводим подобные, считаем и получаем:

0 = 0

Вот-те раз! Выдал примерчик фокус! Само по себе это равенство возражений не вызывает: ноль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! Бесследно! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс . Иначе решение не считается, да.) Что же делать?

Без паники! В таких нестандартных случаях спасают самые общие понятия и принципы математики. Что такое уравнение? Как решать уравнения? Что значит решить уравнение?

Решить уравнение – это значит, найти все значения переменной икс, которые при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство (тождество)!

Но верное равенство у нас уже получилось ! 0=0, вернее некуда!) Остаётся догадаться, при каких именно иксах у нас получается это равенство. Какие же такие иксы можно подставлять в исходное уравнение, если при подстановке все они всё равно посокращаются в полный ноль? Неужели ещё не догадались?

Ну, конечно же! Иксы можно подставлять любые !!! Совершенно любые. Какие хотите, такие и подставляйте. Хоть 1, хоть -23, хоть 2,7 – какие угодно! Они всё равно сократятся и в результате останется чистая правда. Попробуйте, поподставляйте и убедитесь лично.)

Вот вам и ответ:

х – любое число .

В научной записи это равенство пишется так:

Читается эта запись так: «Икс – любое действительное число.»

Или в другой форме, через промежутки:

Как вам больше нравится, так и оформляйте. Это верный и совершенно полноценный ответ!

А теперь я изменю в нашем исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

7х + 2 = 4х + 5 + 3х – 2

Опять переносим слагаемые, считаем и получаем:

7х – 4х – 3х = 5 – 2 – 2

0 = 1

И как вам этот прикол? Было обычное линейное уравнение, а стало непонятное равенство

0 = 1…

Говоря научным языком, мы получили неверное равенство. А по-русски неправда это. Бред сивой кобылы. Ахинея.) Ибо ноль никак не равен единице!

А теперь опять соображаем, какие же иксы при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Какие? А никакие! Какой икс ни подставляй, всё равно всё посокращается и останется лажа.)

Вот и ответ: решений нет .

В математической записи такой ответ оформляется вот так:

Читается: «Икс принадлежит пустому множеству.»

Такие ответы в математике тоже встречаются довольно часто: далеко не всегда у какого-либо уравнения имеются корни в принципе. Какие-то уравнения могут и вовсе не иметь корней. Совсем.

Вот такие вот два сюрприза. Надеюсь, что теперь внезапная пропажа иксов в уравнении не поставит вас навечно в тупик. Дело вполне знакомое.)

И тут слышу закономерный вопрос: а в ОГЭ или ЕГЭ они будут? На ЕГЭ сами по себе в качестве задания – нет. Слишком уж простенькие. А вот в ОГЭ или в текстовых задачках – запросто! Так что теперь – тренируемся и решаем:

Ответы (в беспорядке): -2; -1; любое число; 2; нет решений; 7/13.

Всё получилось? Отлично! У вас неплохие шансы на экзамене.

Что-то не сходится? Гм… Печалька, конечно. Значит, где-то пока есть пробелы. Либо в основах, либо в тождественных преобразованиях. Либо же дело в банальной невнимательности. Перечитайте урок ещё раз. Ибо не та это тема, без которой можно вот так легко обойтись в математике…

Удачи! Она вам обязательно улыбнётся, поверьте!)

Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение, полная степень многочленов которого равна единице. Решение линейных уравнений - часть школьной программы, причем не самая сложная. Однако некоторые все же испытывают затруднения при прохождении данной темы. Надеемся, прочитав данный материал, все трудности для вас останутся в прошлом. Итак, давайте разбираться. как решать линейные уравнения.

Общий вид

Линейное уравнение представляется в виде:

• ax + b = 0, где a и b - любые числа.

Несмотря на то, что a и b могут быть любыми числами, их значения влияют на количество решений уравнение. Выделяют несколько частных случаев решения:

• Если a=b=0, уравнение имеет бесконечное множество решений;
• Если a=0, b≠0, уравнение не имеет решения;
• Если a≠0, b=0, уравнение имеет решение: x = 0.

В том случае, если оба числа имеют не нулевые значения, уравнение предстоит решить, чтобы вывести конечное выражения для переменной.

Как решать?

Решить линейное уравнение - значит, найти, чему равна переменная. Как же это сделать? Да очень просто - используя простые алгебраические операции и следуя правилам переноса. Если уравнение предстало перед вами в общем виде, вам повезло, все, что необходимо сделать:

1. Перенести b в правую сторону уравнения, не забыв изменить знак (правило переноса!), таким образом, из выражения вида ax + b = 0 должно получиться выражение вида: ax = -b.
2. Применить правило: чтобы найти один из множителей (x - в нашем случае), нужно произведение (-b в нашем случае) поделить на другой множитель (a - в нашем случае). Таким образом, должно получиться выражение вида: x = -b/а.

Вот и все - решение найдено!

Теперь давайте разберем на конкретном примере:

1. 2x + 4 = 0 - переносим b, равное в данном случае 4, в правую сторону
2. 2x = -4 - делим b на a (не забываем о знаке минус)
3. x = -4/2 = -2

Вот и все! Наше решение: x = -2.

Как видите, решение линейного уравнения с одной переменной найти довольно просто, однако так просто все, если нам повезло встретить уравнение в общем виде. В большинстве случаев, прежде чем решать уравнение в описанные выше две ступени, нужно еще привести имеющееся выражение к общему виду. Впрочем, это тоже не архисложная задача. Давайте разберем некоторые частные случаи на примерах.

Решение частных случаев

Во-первых, давайте разберем случаи, которые мы описали в начале статьи, и объясним, что же значит бесконечное множество решений и отсутствие решения.

• Если a=b=0, уравнение будет иметь вид: 0x + 0 = 0. Выполняя первый шаг, получаем: 0x = 0. Что значит эта бессмыслица, воскликните вы! Ведь какое число на ноль ни умножай, всегда получится ноль! Верно! Поэтому и говорят, что уравнение имеет бесконечное множество решений - какое число ни возьми, равенство будет верным, 0x = 0 или 0=0.
• Если a=0, b≠0, уравнение будет иметь вид: 0x + 3 = 0. Выполняем первый шаг, получаем 0x = -3. Снова бессмыслица! Очевидно же, что данное равенство никогда не будет верным! Потому и говорят - уравнение не имеет решений.
• Если a≠0, b=0, уравнение будет иметь вид: 3x + 0 = 0. Выполняя первый шаг, получаем: 3x = 0. Какое решение? Это легко, x = 0.

Трудности перевода

Описанные частные случаи - это не все, чем нас могут удивить линейный уравнения. Иногда уравнение вообще с первого взгляда трудно идентифицировать. Разберем пример:

• 12x - 14 = 2x + 6

Разве это линейное уравнение? А как же ноль в правой части? Торопиться с выводами не будем, будем действовать - перенесем все составляющие нашего уравнения в левую сторону. Получим:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Теперь вычтем подобное из подобного, получим:

• 10x - 20 = 0

Узнали? Самое что ни на есть линейное уравнение! Решение которого: x = 20/10 = 2.

А что если перед нами такой пример:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Да, это тоже линейное уравнение, только преобразований нужно провести побольше. Сначала раскроем скобки:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - теперь выполняем перенос:
4. 25x - 4 = 0 - осталось найти решение по уже известной схеме:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

Как видите, все решаемо, главное - не переживать, а действовать. Запомните, если в вашем уравнении только переменные первой степени и числа, перед вами линейное уравнение, которое, как бы оно ни выглядело изначально, можно привести к общему виду и решить. Надеемся, у вас все получится! Удачи!

Линейные уравнения. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Линейные уравнения.

Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)

Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

ax + b = 0 где а и b – любые числа.

2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7

0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2

Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:

Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:

Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.

Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:

Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение

нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.

Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)

Решение линейных уравнений. Примеры.

Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.

Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.

х - 3 = 2 - 4х

Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.

Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:

х + 4х = 2 + 3

Приводим подобные, считаем:

Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:

Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.

Например, вот это уравнение:

С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.

Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?

95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:

Раскрываем скобки:

Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:

Раскрываем оставшиеся скобки:

Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:

Приводим подобные:

И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:

Вот и всё. Ответ: х =0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)

Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.

Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Сюрприз первый.

Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:

2х+3=5х+5 - 3х - 2

Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:

2х-5х+3х=5-2-3

Считаем, и... опаньки!!! Получаем:

Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?

Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.

Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)

Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.

Вот вам и ответ: х - любое число.

Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.

Сюрприз второй.

Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:

2х+1=5х+5 - 3х - 2

После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:

Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)

Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)

Вот вам и ответ: решений нет.

Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.

Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)

Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

\(x=[число]\)

Это число и будет корнем.

То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:

Например : прибавим \(5\) к обеим частям уравнения \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.

Например : разделим уравнение \(-2x=8\) на минус два

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду \(ax=b\), и мы делим на \(a\), чтобы убрать его слева.

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.

Прибавляем \(2x\) слева и справа

Вычитаем \(24\) из обеих частей уравнения

Опять приводим подобные слагаемые

Теперь делим уравнение на \(-3\), тем самым убирая перед иксом в левой части.

Ответ : \(7\)

Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство - одинаковые числа слева и справа. Пробуем.

Проверка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.

Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?

Ответ прост:

Ваша цель – привести уравнение к виду \(x=[число]\), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.

Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения \(x+3=13-4x\).

Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от \(x=[число]\)? Что нам мешает? Что не так?

Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать - вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Хорошо. Теперь что мешает? \(4x\) справа, ведь там должны быть только числа. \(4x\) вычитается - убираем прибавлением .

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.

Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением .

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac{5x}{5}\) \(=\)\(\frac{10}{5}\)
\(x=2\)

Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.

Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один . Однако могут встретиться два особых случая.

Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.

Пример . Решить уравнение \(3x-1=2(x+3)+x\)

Решение :

Ответ : нет корней.

На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: как могут быть равны \(3x\) из которых вычли \(1\), и \(3x\) к которым прибавили \(6\)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.

Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.

Пример . Решить линейное уравнение \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Решение :

Ответ : любое число.

Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: \(8x+12=8x+12\). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.

Более сложные линейные уравнения.

Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.

Пример . Найдите корень уравнения \(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\)

Решение :

\(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\)		Казалось бы, здесь есть икс в квадрате – это не линейное уравнение! Но не спешите. Давайте применим
\(2x^{2}-(x^{2}-8x+16)=9+6x+x^{2}-15\)		Почему результат раскрытия \((x-4)^{2}\) стоит в скобке, а результат \((3+x)^{2}\) нет? Потому что перед первым квадратом стоит минус, который изменит все знаки. И чтобы не забыть об этом – берем результат в скобки, которую теперь раскрываем.
\(2x^{2}-x^{2}+8x-16=9+6x+x^{2}-15\)		Приводим подобные слагаемые
\(x^{2}+8x-16=x^{2}+6x-6\)
\(x^{2}-x^{2}+8x-6x=-6+16\)		Опять приводим подобные.
		Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. :) Дорешиваем, деля уравнение на \(2\), и получаем ответ.

Ответ : \(x=5\)

Пример . Решить линейное уравнение \(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)

Решение :

\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)		Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то... Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех – шестерку
\(6\cdot\)\((\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3})\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\) \(\cdot 6\)		Раскрываем скобку слева
\(6\cdot\)\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\) \(\cdot 6\)		Теперь сокращаем знаменатели
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его.
		Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева
		Ну и поделив на \(-4\) правую и левую часть, получаем ответ

Ответ : \(x=-1,25\)