ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ

КРУГЛЫЕ ТЕЛА

II ШАР

Сечение шара плоскостью

125. Определение . Тело, происходящее от вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром , а поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется шаровой или сферической поверхностью. Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удалённых от одной и той же точки (называемой центром шара).

Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом , а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.

Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются.

126. Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

1) Предположим сначала, что (черт. 137) секущая плоскость АВ проходит через центр О шара. Все точки линии пересечения принадлежат шаровой поверхности и поэтому одинаково удалены от точки О, лежащей в секущей плоскости; следовательно, сечение есть круг с центром в точке О.

2) Положим теперь, что секущая плоскость СО не проходит через центр. Опустим на неё из центра перяендикуляр OK и возьмём на линии пересечения какую-нибудь точку М. Соединив её с О и А, получим прямоугольный треугольник МОК, из которого находим:

MK =√OM 2 - ОК 2 . (1)

Так как длины отрезков ОМ и ОК не изменяются при изменении положения точки М на линии пересечения, то расстояние МК есть величина постоянная для данного сечения; значит, линия пересечения есть окружность, центр которой есть точка К.

127. Следствие. Пусть R и r будут длины радиуса шара и радиуса круга сечения, а
d - расстояние секущей плоскости от центра, тогда равенство (1) примет вид:
r =√R 2 - d 2 .

Из этой формулы выводим:

1) Наибольший радиус сечения получается при d = 0, т. е. когда секущая плоскость проходит через центр шара . В этом случае r =R. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом .

2) Наименьший радиус сечения получается при d = R. В этом случае r = 0, т. е. круг сечения обращается в точку.

3) Сечения, равноотстоящие от центра шара, равны.

4) Из двух сечений, неодинаково удалённых от центра шара, то, которое ближе к центру, имеет больший радиус.

128. Теорема. Всякая плоскость (Р, черт. 138), проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.

Возьмём на поверхности шара какую-нибудь точку А; пусть АВ есть перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость Р. Продолжим АВ до пересечения с поверхностью шара в точке С. Проведя ВО, мы получим два равных прямоугольных треугольника
АОВ и ВОС (общий катет ВО, а гипотенузы равны, как радиусы шара); следовательно, АВ = ВС; таким образом, всякой точке А поверхности шара соответствует другая точка С этой поверхности, симметричная относительно плоскости Р с точкой А. Значит, плоскость Р делит поверхность шара на две симметричные части.

Эти части не только симметричны, но и равны, так как, разрезав шар по плоскости Р, мы можем вложить одну из двух частей в другую и совместить эти части.

129. Теорема. Через две точка шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну .

Пусть на шаровой поверхности (черт. 139), имеющей центр О, взяты какие-нибудь две точки, например С и N, не лежащие на одной прямой с точкой О. Тогда через точки С, О к N можно провести плоскость. Эта плоскость, проходя через центр О, даст в пересечении с шаровой поверхностью окружность большого круга.

Другой окружности большого круга через те же две точки С и N провести нельзя. Действительно, всякая окружность большого круга должна, по определению, лежать в плоскости, проходящей через центр шара; следовательно, если бы через С и N можно было провести ещё другую окружность большого круга, тогда выходило бы, что через три точки С, N и О, не лежащие на одной прямой, можно провести две различные плоскости, что невозможно.

130. Теорема. Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам.

Центр О (черт. 139), находясь на плоскостях обоих больших кругов, лежит на прямой, по которой эти круги пересекаются; значит, эта прямая есть диаметр того и другого круга, а диаметр делит окружность пополам.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство. Пусть б -- секущая плоскость и О -- центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.

Пусть X -- произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б. По теореме Пифагора 0X2 = 00"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы -- большой окружностью.

Задачи

Задача 1 . Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару

Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Сечение сферы
Рубрика (тематическая категория)	Образование

Плоскостью частного положения

Сфера пересечена фронтально- прое-цирующей плоскостью (рис.9.19.)

Рис.9.19.

Окружность, по которой плоскость a пересекает сферу, на плоскость Н проецируется в эллипс. На фронтальную плоскость проекций эта окружность проецируется в отрезок 1¢¢2¢¢, лежащей на следе a v . Строим точки 1¢ и 2¢, это горизонтальные проекции самой высокой и самой низкой точками сечения. Большая ось эллипса на горизонтальной плоскости проекций определяется точками 5 и 6, которые получаются при пересечении плоскости Т, проходящей через центр сферы, перпендикулярной плоскости a.

Для построения горизонтальных проекций точек воспользуемся параллелями сферы, проходящими через выбранные точки. Обязательно нужно выбрать точки 3 и 4, лежащие на экваторе, так как являются точками перехода с видимой на невидимую сторону поверхности (рис.9.19.).

РАЗВЕРТКИ

При изучении построения разверток поверхности рассматривают как гибкую нерастяжимую пленку. Некоторые поверхности при изгибании можно совместить с плоскостью без разрывов и склеивания. Такие поверхности называют развертывающимися, а полученную плоскую фигуру - разверткой. Поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью, относятся к неразвертываемым.

Построение разверток имеет большое практическое применение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем его изгибания.

Основные свойства разверток поверхностей

Каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот.

На основании этого можно сформулировать следующие свойства:

1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой. Следствие: замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.

3. Прямой на поверхности соответствуют прямая на развертке.

4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные на развертке

Развертка поверхности многогранников

Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.

Существуют три способа построения развертки многогранных поверхностей:

1) Способ треугольников (триангуляции);

2) Способ нормального сечения;

3) Способ раскатки.

Сечение сферы - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Сечение сферы" 2017, 2018.

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкой шаровой поверхности, тоже называется радиусом. Проходящий через центр шара отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr 3 ,

где r – радиус шара.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Исходя из данной теоремы, если шар с центром O и радиусом R пересечён плоскостью α, то в сечении получается круг радиуса r с центром K. Радиус сечения шара плоскостью можно найти по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудалённые от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскости к центру шара, то есть чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью, называется большим кругом, а сечение сферы – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh 2 (R – 1/3h),

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса, следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (на нашем рисунке – это AMCB) и конической поверхностью (на рисунке – это OABC), основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR 2 H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Или сферой . Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом . Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром . Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара. Всякое сечение шара плоскостью есть круг . Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью . Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом , а сечение сферы - большой окружностью . Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии . Центр шара является его центром симметрии . Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной плоскостью . Данная точка называется точкой касания . Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания. Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной . Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар. Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Основные формулы Шар (R = ОВ - радиус): S б = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Шаровой сегмент (R = ОВ - радиус шара, h = СК - высота сегмента, r = КВ - радиус основания сегмента): V сегм = πh 2 (R - h / 3) или V сегм = πh(h 2 + 3r 2) / 6 ; S сегм = 2πRh . Шаровой сектор (R = ОВ - радиус шара, h = СК - высота сегмента): V = V сегм ± V кон, «+» - если сегмент меньше,«-» - если сегмент больше полусферы. или V = V сегм + V кон = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3 . Шаровой слой (R 1 и R 2 - радиусы оснований шарового слоя; h = СК - высота шарового слоя или расстояние между основаниями): V ш/сл = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2 ; S ш/сл = 2πRh . Пример 1. Объем шара равен 288π см 3 . Найти диаметр шара. Решение V = πd 3 / 6 288π = πd 3 / 6 πd 3 = 1728π d 3 = 1728 d = 12 см. Ответ: 12. Пример 2. Три равных сферы радиусом r касаются друг друга и некоторой плоскости. Определить радиус четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Решение Пусть О 1 , О 2 , О 3 - центры данных сфер и О - центр четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Пусть А, В, С, Т - точки касания сфер с данной плоскостью. Точки касания двух сфер лежат на линии центров этих сфер, поэтому О 1 О 2 = О 2 О 3 = О 3 О 1 = 2r . Точки равноудалены от плоскости АВС , поэтому АВО 2 О 1 , АВО 2 О 3 , АВО 3 О 1 - равные прямоугольники, следовательно, ∆АВС - равносторонний со стороной 2r . Пусть х - искомый радиус четвертой сферы. Тогда ОТ = х . Следовательно, Аналогично Значит, Т - центр равностороннего треугольника. Поэтому Отсюда Ответ: r / 3 . Сфера, вписанная в пирамиду В каждую правильную пирамиду можно вписать сферу. Центр сферы лежит на высоте пирамиды в точке ее пересечения с биссектрисой линейного угла при ребре основания пирамиды. Замечание. Если в пирамиду, необязательно правильную, можно вписать сферу, то радиус r этой сферы можно вычислить по формуле r = 3V / S пп , где V - объем пирамиды, S пп - площадь ее полной поверхности. Пример 3. Коническая воронка, радиус основания которой R , а высота H , наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным? Решение Проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник. Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности. Радиус вписанной в треугольник окружности равен: r = S / p , где S - площадь треугольника, p - его полупериметр. Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты (H = SO ), умноженной на основание. Но поскольку основание - удвоенный радиус конуса, то S = RH . Полупериметр равен p = 1/2 (2R + 2m) = R + m . m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника; R - радиус окружности, составляющей основание конуса. Найдем m по теореме Пифагора: , откуда Кратко это выглядит следующим образом: Ответ: Пример 4. В правильной треугольной пирамиде с двугранным углом при основании, равным α , расположены два шара. Первый шар касается всех граней пирамиды, а второй шар касается всех боковых граней пирамиды и первого шара. Найти отношение радиуса первого шара к радиусу второго шара, если tgα = 24/7 . Решение
Пусть РАВС - правильная пирамида и точка Н - центр ее основания АВС . Пусть М - середина ребра ВС . Тогда - линейный угол двугранного угла , который по условию равен α , причем α < 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Пусть НН 1 - диаметр первого шара и плоскость, проходящая через точку Н 1 перпендикулярно прямой РН , пересекает боковые ребра РА, РВ, РС соответственно в точках А 1 , В 1 , С 1 . Тогда Н 1 будет центром правильного ∆А 1 В 1 С 1 , а пирамида РА 1 В 1 С 1 будет подобна пирамиде РАВС с коэффициентом подобия k = РН 1 / РН . Заметим, что второй шар, с центром в точке О 1 , является вписанным в пирамиду РА 1 В 1 С 1 и поэтому отношение радиусов вписанных шаров равно коэффициенту подобия: ОН / ОН 1 = РН / РН 1 . Из равенства tgα = 24/7 находим: Пусть АВ = х . Тогда Отсюда искомое отношение ОН / О 1 Н 1 = 16/9. Ответ: 16/9. Сфера, вписанная в призму Диаметр D сферы, вписанной в призму, равен высоте Н призмы: D = 2R = H . Радиус R сферы, вписанной в призму, равен радиусу окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы. Если в прямую призму вписана сфера, то в основание этой призмы можно вписать окружность. Радиус R сферы, вписанной в прямую призму, равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Теорема 1 Пусть в основание прямой призмы можно вписать окружность, и высота Н призмы равна диаметру D этой окружности. Тогда в эту призму можно вписать сферу диаметром D . Центр этой вписанной сферы совпадает с серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы. Доказательство Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 … - прямая призма и О - центр окружности, вписанной в ее основание АВС . Тогда точка О равноудалена от всех сторон основания АВС . Пусть О 1 - ортогональная проекция точки О на основание А 1 В 1 С 1 . Тогда О 1 равноудалена от всех сторон основания А 1 В 1 С 1 , и ОО 1 || АА 1 . Отсюда следует, что прямая ОО 1 параллельна каждой плоскости боковой грани призмы, а длина отрезка ОО 1 равна высоте призмы и, по условию, диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Значит, точки отрезка ОО 1 равноудалены от боковых граней призмы, а середина F отрезка ОО 1 , равноудаленная от плоскостей оснований призмы, будет равноудалена от всех граней призмы. То есть F - центр сферы, вписанной в призму, и диаметр этой сферы равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Теорема доказана. Теорема 2 Пусть в перпендикулярное сечение наклонной призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности. Тогда в эту наклонную призму можно вписать сферу. Центр этой сферы делит высоту, проходящую через центр окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, пополам. Доказательство
Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 … - наклонная призма и F - центр окружности радиусом FK , вписанной в ее перпендикулярное сечение. Поскольку перпендикулярное сечение призмы перпендикулярно каждой плоскости ее боковой грани, то радиусы окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, проведенные к сторонам этого сечения, являются перпендикулярами к боковым граням призмы. Следовательно, точка F равноудалена от всех боковых граней. Проведем через точку F прямую ОО 1 , перпендикулярную плоскости оснований призмы, пересекающую эти основания в точках О и О 1 . Тогда ОО 1 - высота призмы. Поскольку по условию ОО 1 = 2FK , то F - середина отрезка ОО 1 : FK = ОО 1 / 2 = FО = FО 1 , т.е. точка F равноудалена от плоскостей всех без исключения граней призмы. Значит, в данную призму можно вписать сферу, центр которой совпадает с точкой F - центром окружности, вписанной в то перпендикулярное сечение призмы, которое делит высоту призмы, проходящую через точку F , пополам. Теорема доказана. Пример 5. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. Вы увидите одно и то же - круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом, а параллелепипед будет кубом. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара. АВ = 2 , а следовательно, объем куба равен 8. Ответ: 8. Пример 6. В правильной треугольной призме со стороной основания, равной , расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а второй шар касается одного основания призмы, двух ее боковых граней и первого шара. Найти радиус второго шара. Решение
Пусть АВСА 1 В 1 С 1 - правильная призма и точки Р и Р 1 - центры ее оснований. Тогда центр шара О , вписанного в эту призму, является серединой отрезка РР 1 . Рассмотрим плоскость РВВ 1 . Поскольку призма правильная, то РВ лежит на отрезке BN , который является биссектрисой и высотой ΔАВС . Следовательно, плоскость и является биссекторной плоскостью двугранного угла при боковом ребре ВВ 1 . Поэтому любая точка этой плоскости равноудалена от боковых граней АА 1 ВВ 1 и СС 1 В 1 В . В частности, перпендикуляр ОК , опущенный из точки О на грань АСС 1 А 1 , лежит в плоскости РВВ 1 и равен отрезку ОР . Заметим, что KNPO - квадрат, сторона которого равна радиусу шара, вписанного в данную призму. Пусть О 1 - центр шара, касающегося вписанного шара с центром О и боковых граней АА 1 ВВ 1 и СС 1 В 1 В призмы. Тогда точка О 1 лежит плоскости РВВ 1 , а ее проекция Р 2 на плоскость АВС лежит на отрезке РВ . По условию сторона основания равна